复数代数形式的乘除运算
作者：郑州四中 发布时间：2014-10-10
学习目标：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
学习重点：复数代数形式的除法运算。
学习难点：对复数除法法则的运用。
学具准备：多媒体、实物投影仪。
学习设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a，b=d ，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 =c
学习过程：
学生探究过程：
1.虚数单位:(1)它的平方等于-1，即 ; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
2. 与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－
3. 的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1
4.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.
5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a，b=d =c
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
7. 复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
9. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
10. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.
11. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
讲解新课：
１．乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2.乘法运算律：
(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，
z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.
又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.
∴z1z2=z2z1.
(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i)
=［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i
=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，
同理可证：
z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，
∴(z1z2)z3=z1(z2z3).
(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).
∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］
=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.
z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)
=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i
=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i
=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i
∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.
例2计算：
（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.
解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;
(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.
3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数的共轭复数为。
4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi) (c+di)或者
5.除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
由复数相等定义可知
解这个方程组，得
于是有:(a+bi)÷(c+di)= i.
②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将的分母有理化得：
原式=
.
∴(a+bi)÷(c+di)= .
点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法
例3计算
解：
例4计算
解：
例5已知z是虚数，且z+是实数，求证：是纯虚数.
证明：设z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是
z+=a+bi+=a+bi+.
∵z+∈R，∴b－=0.
∵b≠0，∴a2+b2=1.
∴
∵b≠0，a、b∈R，∴是纯虚数
巩固练习：
1.设z=3+i,则等于
A.3+i B.3－i C. D.
2.的值是
A.0 B.i C.－i D.1
3.已知z1=2－i,z2=1+3i,则复数的虚部为
A.1 B.－1 C.i －iD.
4.设 (x∈R,y∈R),则x=___________,y=___________.
答案：1.D 2.A 3.A 4. , －
课后作业：习题3. 2 A组4，5，6 B组1，2
教学反思：
复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式.
复数的除法法则是：i(c+di≠0).
两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简
